Конечные разности

Конечные разности

Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании.

Содержание

Определение

Рассмотрим интерполяционную задачу для функции f(x):

f(x_0) = y_0, \ldots, f(x_n)=y_n,

где x_k = x_0 + hk,\ h=\mathrm{const}.

Конечной разностью 1-го порядка называют разность между двумя соседними значениями f в узлах интерполяции, то есть

\Delta y_k=y_{k+1}-y_k = f(x_{k+1}) - f(x_k),\ k=\overline{0,n-1}.

Конечной разностью 2-го порядка называют разность между двумя соседними конечными разностями 1-го порядка, то есть

\Delta^2y_k= \Delta y_{k+1} - \Delta y_k = f(x_{k+2}) - 2 f(x_{k+1}) + f(x_{k}),\ k=\overline{0,n-2}.

Конечной разностью порядка m (для m \leq n) называют разность между двумя соседними конечными разностями порядка m-1, то есть

\Delta^my_k= \Delta^{m-1}y_{k+1} - \Delta^{m-1}y_k,\ k=\overline{0,n-m}.


Если ввести оператор смещения \operatorname{E} такой, что \operatorname{E}y_k=y_{k+1}, то оператор восходящей конечной разности \Delta=\operatorname{E}-1 и

\Delta^k=(\operatorname{E}-1)^k,

который можно раскладывать по Биному Ньютона. Данный способ представления \Delta заметно упрощает работу с конечными разностями высших порядков. [Корн, Справочник по математике].

Конечные разности применяются в интерполяционном методе Ньютона.

С конечными разностями связаны понятия разделённых разностей и модуля непрерывности.

Другие обозначения

Часто также используется другое обозначение: \Delta^m_h (f, x) — конечная разность порядка m от функции f c шагом h, взятая в точке x. Например, \Delta^1_h (f, x) = f(x+h) - f(x).

Связанные понятия

Видно, что конечная разность при фиксированном шаге есть линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций в себя. Обобщением понятия конечной разности является понятие разностного оператора.

См. также


Формула

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Конечные разности" в других словарях:

  • КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ — Исчисление конечных разностей связано с изучением свойств и применений разностей между соседними членами какой нибудь последовательности или между значениями функции в точках, расположенных с постоянным интервалом в некотором пространстве. Слово… …   Энциклопедия Кольера

  • Конечных разностей исчисление —         раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления (См. Дифференциальное исчисление) и интегрального исчисления (См. Интегральное исчисление), где… …   Большая советская энциклопедия

  • Разделённая разность — Разделённая разность  обобщение понятия производной для дискретного набора точек. Содержание 1 Определение 2 Применение 3 История …   Википедия

  • Разностные уравнения — [dif­ference equations] уравнения, содержащие конечные разности искомой функции. (Конечная разность определяется как соотношение, связывающее дискретный набор значений функции y = f(x), соответствующих дискретной последовательности аргументов х1 …   Экономико-математический словарь

  • разностные уравнения — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] разностные уравнения Уравнения, содержащие конечные разности искомой функции. (Конечная разность определяется как соотношение, связывающее дискретный набор значений функции y …   Справочник технического переводчика

  • КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в к ром изучаются функции при дискретном изменении аргумента, в отличие от дифференциального и интегрального исчислений, где аргумент изменяется непрерывно. Пусть функция y=f(x)задана в точках xk=x0+kh(h постоянная, к целое).… …   Математическая энциклопедия

  • ПРОИЗВОДСТВО ЭНТРОПИИ — прирост энтропии в физ. системе за ед. времени в результате протекающих в ней неравновесных процессов. П. э., отнесённое к ед. объёма, наз. л о к а л ь н ы м П. э. Если термодинамич. силы Xi (градиенты темп ры, концентраций компонентов или их хим …   Физическая энциклопедия

  • ЛОНГМАНА МЕТОД — метод приближенного вычисления определенного интеграла где f(х).имеет точно и корней х;внутри промежутка [ а, b]: и удовлетворяет формулируемым ниже условиям. Пусть тогда I= S, где Предполагается, что f(x).сохраняет знак на промежутке [xi, xi+1] …   Математическая энциклопедия

  • РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содержащее конечные разности искомой функции. функция целочисленного аргумента , конечные разности. Выражение содержит значения функции в (m+1) й точке п, n+1,. . ., п+т. Справедлива формула (1) …   Математическая энциклопедия

  • НЬЮТОНА ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА — форма записи Лагранжа интерполяционной формулы, использующая разделенные разности: где разделенные разности k гопорядка; рассматривалась И. Ньютоном (I. Newton, 1687). Формула (1) наз. Н. и. ф. для неравных промежутков. В случае, когда значения… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»














OSZAR »