Кратность (критической точки)

Кратность (критической точки)
У этого термина существуют и другие значения, см. Кратность.

Кратность критической точки C^{\infty}-гладкой функции f: \R^n\to\R — размерность так называемой локальной алгебры градиентного отображения.

Пусть f: \R^n\to\R — C^{\infty}-гладкая функция от n переменных x_1, \ldots, x_n, имеющая O\in\R^n своей критической точкой. Соответствующее градиентное отображение \nabla f: \R^n\to\R^n задается формулой (x_1, \ldots, x_n) \mapsto (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n). Введем следующие обозначения:

Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение I_{\nabla f} в алгебру \R[[x_1, \ldots, x_n]]. Локальной алгеброй градиентного отображения в точке O называется факторалгебра \R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{\nabla f}, а её размерность \mu = \dim \, \R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{\nabla f} называется кратностью функции f в точке O.


В случае, когда функции \partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n имеют в точке O линейно независимые градиенты (это условие равносильно тому, что гессиан функции f отличен от нуля), кратность \mu=1, и критическая точка O называется невырожденной. Удобно также положить \,\mu=0 в случае некритической точки.

Содержание

Случай n=1

В этом случае кратность \mu критической точки O может быть определена следующим условием:

\frac{d^i f}{d x^i}(O) = 0 \quad (\forall i=1, \ldots, \mu), \quad \frac{d^{\mu+1} f}{d x^{\mu+1}}(O) \neq 0.

Значение \,\mu=0 соответствует некритической точке.

Действительно, так как в этом случае степенной ряд функции \nabla f = {\partial f}/{\partial x} начинается с члена x^{\mu},\, то любой элемент g \in \R[[x]] представим в виде g=p_{\mu-1}+ \alpha \cdot \nabla f, где \alpha \in \R[[x]] и p_{\mu-1}\, — многочлен степени \mu-1,\, задаваемый \mu\, коэффициентами, т.е. \dim \, \R[[x]]/I_{\nabla f} = \mu.

Теорема Тужрона в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности \mu существуют координаты, в которых функция имеет вид f(x)=x^{\mu+1}.\,

Теорема деления

Пусть f: \R^{n+1}\to\R — гладкая функция от n+1 переменной x,y_1, \ldots, y_n, имеющая точку 0\in\R^{n+1} своей критической точкой кратности 0 \le \mu < \infty по переменной x\,, т.е.

\frac{\partial^i f}{\partial x^i}(0) = 0 \quad (\forall i=1, \ldots, \mu), \quad \frac{\partial^{\mu+1} f}{\partial x^{\mu+1}}(0) \neq 0. \quad \ (*)

Тогда в окрестности точки 0 функция f представима в виде

f(x,y_1, \ldots, y_n) = \varphi(x,y_1, \ldots, y_n) \cdot \Bigl(x^{\mu+1}+ \sum_{i=0}^{\mu} a_{i}(y_1, \ldots, y_n)x^{\mu-i}\Bigr), \quad \ (**)

где \varphi и a_{i}\, — гладкие функции своих аргументов, \varphi(x,y_1, \ldots, y_n) не обращается в нуль и a_{i}(0,\ldots,0)=0\, для всех \,i<\mu.


Впервые эта теорема была доказа Вейерштрассом для голоморфных функциий комплексных переменных[1] (теорема деления по Вейерштрассу). Приведённый выше вещественный аналог часто называют теоремой деления по Мальгранжу или по Мазеру.

Критические точки отображений

Кратность критической точки C^{\infty}-гладкого отображения f: \R^n\to\R^n, где n>1, — это размерность локальной алгебры данного отображения.

Пусть f: \R^n\to\R^n — C^{\infty}-гладкое отображение, имеющее O\in\R^n своей критической точкой. Отображение \,f задается набором n функций f_1, \ldots, f_n от n переменных x_1, \ldots, x_n.

Введем следующие обозначения:

Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение \,I_{f} в алгебру \R[[x_1, \ldots, x_n]]. Локальной алгеброй отображения в точке O называется факторалгебра \R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{f}, а её размерность \mu = \dim \, \R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{f} называется кратностью отображения f в точке O.


См. также

Литература

  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
  • Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.
  • Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, — М.: Мир, 1977.
  • Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, — М.: Мир, 1968.
  • Сборник статей: Особенности дифференцируемых отображений, — М.: Мир, 1968.
  • Паламодов В.П. О кратности голоморфного отображения, — Функц. анализ и его прил., 1:3 (1967), стр. 54–65.
  • Арнольд В. И. Замечание о подготовительной теореме Вейерштрасса, — Функц. анализ и его прил., 1:3 (1967), стр. 1–8.

Примечания

  1. ↑ Weierstrass K. Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. — Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlin, 1895, 135–188.


Wiki letter w.svg
 Для улучшения этой статьи по математике желательно?:
  • Проставить интервики в рамках проекта Интервики.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Кратность (критической точки)" в других словарях:

  • Кратность — В Викисловаре есть статья «кратность» …   Википедия

  • Критическая точка (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Критическая точка. Критической точкой дифференцируемой функции , где   область в , называется точка, в которой все её частные производные обращаются в нуль. Это условие эквивалентно обращению …   Википедия

  • Лемма Морса — Лемма Морса  лемма, описывающая поведение гладкой или аналитической вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки. Названа в честь американского математика Марстона Морса. Содержание 1 Формулировка 2 Вариации и обобщения …   Википедия

  • ОСОБАЯ ТОЧКА — 1) О. т. аналитической функции f(z) препятствие для аналитического продолжения элемента функции f(z) комплексного переменного zвдоль какого либо пути на плоскости этого переменного. Пусть аналитическая функция f(z) определена некоторым… …   Математическая энциклопедия

  • ОСОБЕННОСТИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ — раздел математич. анализа и дифференциальной геометрии, в к ром изучаются свойства отображений, сохраняющихся при заменах координат в образе и прообразе отображения (или при заменах, сохраняющих нек рые дополнительные структуры); предлагается… …   Математическая энциклопедия

  • Основы теории и история развития компоновки танка — Введение         Современный читатель популярных военно технических изданий избалован обилием материалов по истории создания, боевому применению, особенностям конструкции вооружения и военной техники. Мой опыт общения с фанатами военной техники… …   Энциклопедия техники

  • Ускорители заряженных частиц —         устройства для получения заряженных частиц (электронов, протонов, атомных ядер, ионов) больших энергий. Ускорение производится с помощью электрического поля, способного изменять энергию частиц, обладающих электрическим зарядом. Магнитное… …   Большая советская энциклопедия

  • Автоколебания напорной системы гидроэлектростанции — физическое явление, приводящее к внезапному возникновению и резкому неконтролируемому росту пульсаций давления и расхода в потоке воды, проходящем через турбину этой станции. Явление аналогичного типа на нагнетающих турбомашинах – насосах и… …   Википедия

  • СТО 70238424.13.060.30.001-2008: Тепловые электрические станции. Экологическая безопасность. Защита водной среды. Нормы и требования — Терминология СТО 70238424.13.060.30.001 2008: Тепловые электрические станции. Экологическая безопасность. Защита водной среды. Нормы и требования: 5.4.4 Водоохранные мероприятия Водоохранные мероприятия должны обеспечивать снижение негативного… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • М48 — М48 …   Энциклопедия техники


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»














OSZAR »