Трактриса

Общий вид графика

Трактри́са (линия влечения) — (от лат. trahere — тащить) — плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной.

Такую линию описывает предмет, волочащийся на верёвке длины a за точкой, движущейся по оси абсцисс. Трактриса также является кривой погони.

Уравнения

Параметрическое описание:

$x = \pm\ a \cdot \left(\ln {\operatorname{tg} {\frac{t}{2}}} + \cos t \right)~$

$y = a \cdot \sin t~$
Уравнение в декартовых координатах:

$x = \pm\ \left(a \ln {{a + \sqrt{a^2-y^2}} \over y}-\sqrt{a^2-y^2}\right)$ , при $y \in (0,a)~$

Свойства

Площадь, ограниченная трактрисой и её асимптотой:

$S = {{\pi a^2} \over 2} ~$
Длина дуги, от точки (0 ; a) до произвольной точки трактрисы:

$s_l = -a \ln \sin t ~$
Радиус кривизны:

$R = a \; \operatorname{ctg} \; t$
Поверхность вращения трактрисы вокруг своей асимптоты (оси x), является псевдосферой.
Эволюта (огибающая нормалей): $y(x)=a ~ \operatorname{ch}\frac{x}{a}$ (цепная линия)
При $a > 0,\ 0 < t < {\pi}$ трактриса имеет отрезок касательной постоянной длины, равный $a$ .

История

Открытие и первое исследование трактрисы (1670 год) принадлежит французскому инженеру, врачу и любителю математики Клоду Перро, брату знаменитого сказочника. Новая кривая заинтересовала математиков, её свойства выясняли Ньютон (1676), Гюйгенс (1692) и Лейбниц (1693).

Ссылки

Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике (12-е изд.). М.: Наука, 1977. С.822.

Кривые
Определения	Аналитическая • Жордана • Канторова • Урысона • Овал • Спрямляемая Радиус кривизны
Преобразованные	Эволюта • Эвольвента • Подера • Антиподера • Параллельная • Дуальная • Каустика
Неплоские	Винтовая линия • Линия откоса • Локсодрома • Ортодромия • Губка
Плоские алгебраические
Конические сечения	Гипербола • Парабола • Эллипс (Окружность)
3-й порядок	Эллиптические: Эллиптическая кривая • Функции Якоби • Интеграл • Функции Другие: Верзьера Аньези • Декартов лист • Кубика • Полукубическая парабола • Строфоида • Циссоида Диокла
Лемнискаты	Бернулли (Овал Кассини) • Бута • Жероно
Аппроксимационные	Сплайн (B-сплайн • Кубический • Моносплайн • Эрмита) • Безье
Циклоидальные	Кардиоида • Нефроида • Дельтоида • Астроида • Улитка Паскаля
Плоские трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) • Гиперболическая • «Жезл» • Клотоида • Логарифмическая
Циклоидальные	Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие	Квадратриса • Погони (Трактриса) • Трохоида • Цепная линия (перевёрнутая арочная) • Постоянной ширины • Синусоида
Фрактальные
Простые	Коха • Леви • Минковского • Пеано
Топологические	Салфетка + Ковёр Серпинского • Губка Менгера

Категория:

Трансцендентные кривые

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Синонимы:

кривая

Полезное

Смотреть что такое "Трактриса" в других словарях:

ТРАКТРИСА — (новолат. tractrix от лат. tractus вытянутый), плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка МР касательной от точки касания М до точки Р пересечения с данной прямой (осью) есть величина постоянная … Большой Энциклопедический словарь
трактриса — сущ., кол во синонимов: 1 • кривая (56) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
трактриса — ы, ж. tractrice, нем. Traktrix < лат. tractus вытянутый. геом. Кривая, обладающая тем свойством, что отрезок ее касательной в любой точке от касания до определенной прямой имеет одну и ту же длину; иначе называется кривой погони. СИС 1985.… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
трактриса — (новолат. tractrix, от лат. tractus вытянутый), плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка МР касательной от точки касания М до точки Р пересечения с данной прямой (осью) есть величина постоянная. * * * ТРАКТРИСА ТРАКТРИСА… … Энциклопедический словарь
трактриса — (лат. tractus вытянутый) геом. кривая, обладающая тем свойством, что отрезок её касательной в любой точке от точки касания до определенной прямой имеет одну и ту же длину; иначе называется кривой погони. Новый словарь иностранных слов. by EdwART … Словарь иностранных слов русского языка
ТРАКТРИСА — (новолат. tractrix, от лат. tractus вытянутый), плоская трансцендентная кривая, для к рой длина отрезка МР касательной от точки касания М до точки Р пересечения с данной прямой (осью) есть величина постоянная … Естествознание. Энциклопедический словарь
Трактриса — (от лат. tractus вытянутый) плоская трансцендентная кривая; см. Линия … Большая советская энциклопедия
трактриса — трактриса, трактрисы, трактрисы, трактрис, трактрисе, трактрисам, трактрису, трактрисы, трактрисой, трактрисою, трактрисами, трактрисе, трактрисах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») … Формы слов
ТРАКТРИСА — плоская трансцендентная кривая, уравнение к рой в декартовых прямоугольных координатах имеет вид Т. симметрична относительно оси ординат (см. рис.), ось абсцисс асимптота. Точка (0, а) точка возврата с вертикальной касательной. Длина дуги,… … Математическая энциклопедия
трактриса — трактр иса, ы … Русский орфографический словарь

Словари и энциклопедии на Академике

Трактриса

Содержание

Уравнения

Свойства

История

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое "Трактриса" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Словари и энциклопедии на Академике

Википедия

Трактриса

Содержание

Уравнения

Свойства

История

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое "Трактриса" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка: